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第5题

证明对每个自然数 mm,平面上存在一个有限点集 SS,使得集合 SS 中每个点 AA 恰有 mm 个点与其距离为1。集合 SS 的每个点 AA 都满足此性质。
第 4/6 步:保留两类预期邻点
∣a+eiθb−(ai+eiθb)∣=1,∣a+eiθb−(a+eiθbj)∣=1|a+e^{i\theta}b-(a_i+e^{i\theta}b)|=1,\quad |a+e^{i\theta}b-(a+e^{i\theta}b_j)|=1
详细分析

若 aia_i 是 SS 中距 aa 为1的 mm 个邻点之一,则 ai+eiθba_i+e^{i\theta}b 是 a+eiθba+e^{i\theta}b 的单位距离邻点。若 bjb_j 是 TT 中距 bb 为1的 nn 个邻点之一,则 a+eiθbja+e^{i\theta}b_j 也是。由互异性这 m+nm+n 个点彼此不同。