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第1题

证明:从十个互不相同的两位数(十进制)组成的集合中,总能选出两个不相交的子集,使得它们各自元素之和相等。
第 4/4 步：得出这两个不相交子集之和相等
上一步下一步
通俗地说

从两堆中去掉共有的物品,相当于在两边各减去相同的重量,所以如果之前的总和相等,之后仍然相等——而且现在剩下的两堆已经不再重叠。

sum(A′)=sum(A)−sum(A∩B)=sum(B)−sum(A∩B)=sum(B′)\text{sum}(A')=\text{sum}(A)-\text{sum}(A\cap B)=\text{sum}(B)-\text{sum}(A\cap B)=\text{sum}(B')
详细分析

因为 sum(A)=sum(A∩B)+sum(A′)\text{sum}(A)=\text{sum}(A\cap B)+\text{sum}(A') 且 sum(B)=sum(A∩B)+sum(B′)\text{sum}(B)=\text{sum}(A\cap B)+\text{sum}(B'),又 sum(A)=sum(B)\text{sum}(A)=\text{sum}(B),两边减去公共项 sum(A∩B)\text{sum}(A\cap B) 即得 sum(A′)=sum(B′)\text{sum}(A')=\text{sum}(B')。于是 A′A' 与 B′B' 就是取自原来十个两位数、彼此不相交且非空、和相等的两个子集,正是所要求的。