MathLabs

国际数学奥林匹克 · 1972年

试题

  1. 第1题证明:从十个互不相同的两位数(十进制)组成的集合中,总能选出两个不相交的子集,使得它们各自元素之和相等。解法: 1
  2. 第2题证明:若 n≥4n\ge4,每个可内接于圆的四边形都能剖分成 nn 个各自可内接于圆的四边形。解法: 1
  3. 第3题设 mm 与 nn 为任意非负整数。证明 (2m)!(2n)!m!n!(m+n)!\dfrac{(2m)!(2n)!}{m!n!(m+n)!} 是整数。(0!=10!=1。)解法: 1
  4. 第4题求所有正实数解 (x1,x2,x3,x4,x5)(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5),满足 (x12−x3x5)(x22−x3x5)≤0(x_1^2-x_3x_5)(x_2^2-x_3x_5)\le0、(x22−x4x1)(x32−x4x1)≤0(x_2^2-x_4x_1)(x_3^2-x_4x_1)\le0、(x32−x5x2)(x42−x5x2)≤0(x_3^2-x_5x_2)(x_4^2-x_5x_2)\le0、(x42−x1x3)(x52−x1x3)≤0(x_4^2-x_1x_3)(x_5^2-x_1x_3)\le0、(x52−x2x4)(x12−x2x4)≤0(x_5^2-x_2x_4)(x_1^2-x_2x_4)\le0。解法: 1
  5. 第5题设实值函数 ff 与 gg 对所有实数 x,yx,y 定义并满足 f(x+y)+f(x−y)=2f(x)g(y)f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y) 对所有 x,yx,y 成立。证明:若 ff 不恒为零且对所有 xx 有 ∣f(x)∣≤1|f(x)|\le1,则对所有 yy 有 ∣g(y)∣≤1|g(y)|\le1。解法: 1
  6. 第6题给定四个互不相同的平行平面。证明存在一个正四面体，使每个平面上各有一个顶点。解法: 1