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第3题

设 mm 与 nn 为任意非负整数。证明 (2m)!(2n)!m!n!(m+n)!\dfrac{(2m)!(2n)!}{m!n!(m+n)!} 是整数。(0!=10!=1。)
第 3/4 步:推导递推式
通俗地说

一个相邻值乘四减去另一个恰好得到目标量。

f(m,n)=4f(m,n−1)−f(m+1,n−1)f(m,n)=4f(m,n-1)-f(m+1,n-1)
详细分析

代入前述两式,4f(m,n−1)−f(m+1,n−1)4f(m,n-1)-f(m+1,n-1) 中 f(m,n)f(m,n) 的系数为 2(m+n)−(2m+1)2n−1=1\dfrac{2(m+n)-(2m+1)}{2n-1}=1,故得到所示递推式。