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国际数学奥林匹克
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1972年
›
第4题
第4题
求所有正实数解
(
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
,
x
5
)
(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)
(
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
,
x
5
)
,满足
(
x
1
2
−
x
3
x
5
)
(
x
2
2
−
x
3
x
5
)
≤
0
(x_1^2-x_3x_5)(x_2^2-x_3x_5)\le0
(
x
1
2
−
x
3
x
5
)
(
x
2
2
−
x
3
x
5
)
≤
0
、
(
x
2
2
−
x
4
x
1
)
(
x
3
2
−
x
4
x
1
)
≤
0
(x_2^2-x_4x_1)(x_3^2-x_4x_1)\le0
(
x
2
2
−
x
4
x
1
)
(
x
3
2
−
x
4
x
1
)
≤
0
、
(
x
3
2
−
x
5
x
2
)
(
x
4
2
−
x
5
x
2
)
≤
0
(x_3^2-x_5x_2)(x_4^2-x_5x_2)\le0
(
x
3
2
−
x
5
x
2
)
(
x
4
2
−
x
5
x
2
)
≤
0
、
(
x
4
2
−
x
1
x
3
)
(
x
5
2
−
x
1
x
3
)
≤
0
(x_4^2-x_1x_3)(x_5^2-x_1x_3)\le0
(
x
4
2
−
x
1
x
3
)
(
x
5
2
−
x
1
x
3
)
≤
0
、
(
x
5
2
−
x
2
x
4
)
(
x
1
2
−
x
2
x
4
)
≤
0
(x_5^2-x_2x_4)(x_1^2-x_2x_4)\le0
(
x
5
2
−
x
2
x
4
)
(
x
1
2
−
x
2
x
4
)
≤
0
。
第 2/4 步：重组成平方
上一步
下一步
通俗地说
非负和不可能为负,所以只能为零。
2
∑
I
i
=
∑
c
y
c
(
x
i
x
i
+
1
−
x
i
x
i
+
3
)
2
+
∑
c
y
c
(
x
i
x
i
+
2
−
x
i
x
i
+
4
)
2
≤
0
2\sum I_i=\sum_{cyc}(x_ix_{i+1}-x_ix_{i+3})^2+\sum_{cyc}(x_ix_{i+2}-x_ix_{i+4})^2\le0
2
∑
I
i
=
cy
c
∑
(
x
i
x
i
+
1
−
x
i
x
i
+
3
)
2
+
cy
c
∑
(
x
i
x
i
+
2
−
x
i
x
i
+
4
)
2
≤
0
详细分析
展开、乘以
2
2
2
并重组得到上述十个平方之和。右边每项非负,而总和不超过零。
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