第4题

求所有正实数解

(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)

,满足

(x_1^2-x_3x_5)(x_2^2-x_3x_5)\le0

、

(x_2^2-x_4x_1)(x_3^2-x_4x_1)\le0

、

(x_3^2-x_5x_2)(x_4^2-x_5x_2)\le0

、

(x_4^2-x_1x_3)(x_5^2-x_1x_3)\le0

、

(x_5^2-x_2x_4)(x_1^2-x_2x_4)\le0

。

第 3/4 步：约去正因子

上一步下一步

通俗地说

正性使乘积等式转化为变量等式。

x_1x_2=x_1x_4,\quad x_2x_3=x_2x_5,\quad x_3x_4=x_3x_1,\quad x_4x_5=x_4x_2

详细分析

十个平方都必须为零。因所有 $x_i>0$ ,上述等式推出 $x_2=x_4$ 、 $x_3=x_5$ 、 $x_4=x_1$ 、 $x_5=x_2$ 。