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第5题

设实值函数 ff 与 gg 对所有实数 x,yx,y 定义并满足 f(x+y)+f(x−y)=2f(x)g(y)f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y) 对所有 x,yx,y 成立。证明:若 ff 不恒为零且对所有 xx 有 ∣f(x)∣≤1|f(x)|\le1,则对所有 yy 有 ∣g(y)∣≤1|g(y)|\le1。
第 1/4 步：定义上确界
上一步下一步
通俗地说

非零条件保证可以除以 kk。

0<k=sup⁡x∈R∣f(x)∣≤10<k=\sup_{x\in\mathbb R}|f(x)|\le1
详细分析

由于 ff 不恒为零且 ∣f(x)∣≤1|f(x)|\le1,上确界 k=sup⁡x∣f(x)∣k=\sup_x|f(x)| 存在且 0<k≤10<k\le1。