MathLabs

第5题

设实值函数 ff 与 gg 对所有实数 x,yx,y 定义并满足 f(x+y)+f(x−y)=2f(x)g(y)f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y) 对所有 x,yx,y 成立。证明:若 ff 不恒为零且对所有 xx 有 ∣f(x)∣≤1|f(x)|\le1,则对所有 yy 有 ∣g(y)∣≤1|g(y)|\le1。
第 2/4 步：估计函数方程
上一步下一步
通俗地说

同一表达式同时受到上确界和 gg 的控制。

2k≥∣f(x+y)+f(x−y)∣=2∣f(x)∣∣g(y)∣2k\ge|f(x+y)+f(x-y)|=2|f(x)||g(y)|
详细分析

三角不等式给出 2k≥∣f(x+y)+f(x−y)∣2k\ge|f(x+y)+f(x-y)|。由函数方程,右边等于 2∣f(x)∣∣g(y)∣2|f(x)||g(y)|。