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第5题

设实值函数 ff 与 gg 对所有实数 x,yx,y 定义并满足 f(x+y)+f(x−y)=2f(x)g(y)f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y) 对所有 x,yx,y 成立。证明:若 ff 不恒为零且对所有 xx 有 ∣f(x)∣≤1|f(x)|\le1,则对所有 yy 有 ∣g(y)∣≤1|g(y)|\le1。
第 3/4 步：得到新的上界
上一步下一步
通俗地说

若 ∣g(y)∣|g(y)| 很大,∣f∣|f| 的整个范围会被压缩。

∣f(x)∣≤k∣g(y)∣(g(y)≠0)|f(x)|\le\dfrac{k}{|g(y)|}\quad(g(y)\ne0)
详细分析

若 g(y)=0g(y)=0,结论显然。否则相除得对所有 xx 有 ∣f(x)∣≤k/∣g(y)∣|f(x)|\le k/|g(y)|,故 k/∣g(y)∣k/|g(y)| 是 ∣f∣|f| 的上界。