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第5题

设实值函数 ff 与 gg 对所有实数 x,yx,y 定义并满足 f(x+y)+f(x−y)=2f(x)g(y)f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y) 对所有 x,yx,y 成立。证明:若 ff 不恒为零且对所有 xx 有 ∣f(x)∣≤1|f(x)|\le1,则对所有 yy 有 ∣g(y)∣≤1|g(y)|\le1。
第 4/4 步：使用上确界的最小性
上一步下一步
通俗地说

∣g(y)∣>1|g(y)|>1 与 kk 的定义矛盾。

k≤k∣g(y)∣⟹∣g(y)∣≤1k\le\dfrac{k}{|g(y)|}\Longrightarrow |g(y)|\le1
详细分析

由最小上界性质,k≤k/∣g(y)∣k\le k/|g(y)|。因 k>0k>0,得 ∣g(y)∣≤1|g(y)|\le1。由于 yy 任意,结论对所有 yy 成立。