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第1题

三名选手 AA、BB、CC 进行如下游戏。三张卡片上各写有一个整数,这三个数 p,q,rp, q, r 满足 0<p<q<r0 < p < q < r。将三张卡片洗匀后每人发一张,每人获得与自己所持卡片上数字相同数量的筹码。之后再次洗牌并发牌,如此至少重复两轮(之前各轮所得筹码始终保留给该选手)。最后一轮结束后,AA 共有 2020 枚筹码,BB 有 1010 枚,CC 有 99 枚。在最后一轮中,BB 得到了 rr 枚筹码。问第一轮中谁得到了 qq 枚筹码?
第 2/6 步:只能是 33 轮
p+q+r≥1+2+3=6,n≥2  ⟹  n=3, p+q+r=13p+q+r\ge 1+2+3=6,\quad n\ge2 \implies n=3,\ p+q+r=13
详细分析

由于 p,q,rp,q,r 是满足 p<q<rp<q<r 的互不相同的正整数,故 p≥1,q≥2,r≥3p\ge1,q\ge2,r\ge3,从而 p+q+r≥6p+q+r\ge6,于是 n=39/(p+q+r)≤6n=39/(p+q+r)\le6。又 nn 必须整除 39=3×1339=3\times13,且游戏至少进行两轮,故排除 n=1n=1;而 n≤6n\le6 又排除了 n=13n=13 和 n=39n=39。因此 n=3n=3 且 p+q+r=13p+q+r=13。

常见错误. 很容易想直接尝试 n=13n=13 或 n=39n=39;但由互不相同得到的估计 p+q+r≥6p+q+r\ge6 立刻排除了这两者,只剩下 n=3n=3。