国际数学奥林匹克 · 1974年

试题

第1题三名选手 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 进行如下游戏。三张卡片上各写有一个整数,这三个数 $p, q, r$ 满足 $0 < p < q < r$ 。将三张卡片洗匀后每人发一张,每人获得与自己所持卡片上数字相同数量的筹码。之后再次洗牌并发牌,如此至少重复两轮(之前各轮所得筹码始终保留给该选手)。最后一轮结束后, $A$ 共有 $20$ 枚筹码, $B$ 有 $10$ 枚, $C$ 有 $9$ 枚。在最后一轮中, $B$ 得到了 $r$ 枚筹码。问第一轮中谁得到了 $q$ 枚筹码?解法: 1
第2题在三角形 $ABC$ 中,证明:边 $AB$ 上存在一点 $D$ 使得 $CD$ 是 $AD$ 与 $DB$ 的等比中项,当且仅当 $\sin A \sin B \le \sin^2 \frac{C}{2}$ 。解法: 2
第3题证明对任意整数 $n\ge0$ , $\sum_{k=0}^{n}\binom{2n+1}{2k+1}2^{3k}$ 都不被 $5$ 整除。解法: 1
第4题将一个 $8\times8$ 棋盘分成 $p$ 个互不重叠的矩形。每个矩形中的白格数等于黑格数。若第 $i$ 个矩形中的白格数为 $a_i$ ,则 $a_1<a_2<\cdots<a_p$ 。求可能的最大 $p$ ,并在此 $p$ 下求出所有可能的数列 $a_1,\ldots,a_p$ 。解法: 1
第5题求 $S=\dfrac{a}{a+b+d}+\dfrac{b}{a+b+c}+\dfrac{c}{b+c+d}+\dfrac{d}{a+c+d}$ 的所有可能值，其中 $a,b,c,d$ 为任意正实数。解法: 1
第6题设 $P$ 是整系数非恒多项式。若 $n(P)$ 是满足 $P(k)^2=1$ 的不同整数 $k$ 的个数，证明 $n(P)-\deg(P)\le2$ 。解法: 1