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第2题

在三角形 ABCABC 中,证明:边 ABAB 上存在一点 DD 使得 CDCD 是 ADAD 与 DBDB 的等比中项,当且仅当 sin⁡Asin⁡B≤sin⁡2C2\sin A \sin B \le \sin^2 \frac{C}{2}。
第 1/6 步：点 DD 的幂
上一步下一步
通俗地说

把代数条件 DC2=DA⋅DBDC^2=DA\cdot DB 转化为纯几何条件 DC=DEDC=DE,使我们能够思考一点在一条固定弦上的位置,而不必再摆弄长度。

DA⋅DB=DC⋅DEDA\cdot DB = DC\cdot DE
详细分析

设 DD 是边 ABAB 上任意一点,延长直线 CDCD 与 △ABC\triangle ABC 的外接圆再次相交于 EE。对于在 DD 处相交的两条弦 ABAB 与 CECE,由相交弦定理(点的幂)有 DA⋅DB=DC⋅DEDA\cdot DB = DC\cdot DE。因此 CDCD 是 ADAD 与 DBDB 的等比中项,即 DC2=DA⋅DBDC^2=DA\cdot DB,当且仅当 DC=DEDC=DE。