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第2题

在三角形 ABCABC 中,证明:边 ABAB 上存在一点 DD 使得 CDCD 是 ADAD 与 DBDB 的等比中项,当且仅当 sin⁡Asin⁡B≤sin⁡2C2\sin A \sin B \le \sin^2 \frac{C}{2}。
第 3/6 步：DD 的存在性归结为比较两个高度
上一步下一步
M=midpoint of arc AB not containing C,d(L,AB)≤d(M,AB) ⟺ L∩w≠∅M=\text{midpoint of arc }AB\text{ not containing }C,\quad d(L,AB)\le d(M,AB)\ \Longleftrightarrow\ L\cap w\ne\varnothing
详细分析

在与 CC 异侧的、以直线 ABAB 为参照的外接圆 ww 上所有点中，离直线 ABAB 最远的是该弧的中点 MM（即 ABAB 的垂直平分线与圆的交点）。因此直线 LL 与 ww 相交，当且仅当它到 ABAB 的距离不超过 MM 到 ABAB 的距离，即 CF≤MNCF\le MN，其中 NN 是 MM 到 ABAB 的垂足。由第2步，线段 ABAB 上存在合适的点 DD，恰好当 LL 与 ww 相交时成立，此时可取 EE 为 L∩wL\cap w 中的一点，并令 D=CE∩ABD=CE\cap AB。