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第2题

在三角形 ABCABC 中,证明:边 ABAB 上存在一点 DD 使得 CDCD 是 ADAD 与 DBDB 的等比中项,当且仅当 sin⁡Asin⁡B≤sin⁡2C2\sin A \sin B \le \sin^2 \frac{C}{2}。
第 4/6 步：把高度比较转化为面积比较
上一步下一步
CF≤MN ⟺ 12CF⋅AB≤12MN⋅AB ⟺ [ABC]≤[MAB]CF\le MN\ \Longleftrightarrow\ \tfrac12CF\cdot AB\le \tfrac12MN\cdot AB\ \Longleftrightarrow\ [ABC]\le[MAB]
详细分析

将 CF≤MNCF\le MN 两边同乘以 12AB\tfrac12AB，就把高度的比较变成了面积的比较：由于 CFCF、MNMN 分别是 CC、MM 到公共底边 ABAB 的高，这意味着 [ABC]≤[MAB][ABC]\le[MAB]。