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第2题

在三角形 ABCABC 中,证明:边 ABAB 上存在一点 DD 使得 CDCD 是 ADAD 与 DBDB 的等比中项,当且仅当 sin⁡Asin⁡B≤sin⁡2C2\sin A \sin B \le \sin^2 \frac{C}{2}。
第 5/6 步：用外接圆半径表示两个面积
上一步下一步
[ABC]=AB⋅BC⋅CA4R,∠MAB=∠MCB=C2 ⇒ MA=2Rsin⁡C2,[MAB]=AB⋅MA24R[ABC]=\frac{AB\cdot BC\cdot CA}{4R},\quad \angle MAB=\angle MCB=\frac{C}{2}\ \Rightarrow\ MA=2R\sin\frac{C}{2},\quad [MAB]=\frac{AB\cdot MA^2}{4R}
详细分析

设 RR 为 △ABC\triangle ABC 的外接圆半径(由于 MM 也在同一圆上,这也是 △MAB\triangle MAB 的外接圆半径)。标准公式给出 [ABC]=AB⋅BC⋅CA4R[ABC]=\dfrac{AB\cdot BC\cdot CA}{4R}。因为 MM 是弧 ABAB 的中点,它落在 CC 处内角平分线上,由圆周角定理 ∠MAB=∠MCB=C2\angle MAB=\angle MCB=\tfrac{C}{2};该圆周角所对弦长为 MA=2Rsin⁡C2MA=2R\sin\frac{C}{2}。由于 △MAB\triangle MAB 是 MA=MBMA=MB 的等腰三角形,对其应用同一面积公式得 [MAB]=AB⋅MA⋅MB4R=AB⋅MA24R[MAB]=\dfrac{AB\cdot MA\cdot MB}{4R}=\dfrac{AB\cdot MA^2}{4R}。