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第2题

在三角形 ABCABC 中,证明:边 ABAB 上存在一点 DD 使得 CDCD 是 ADAD 与 DBDB 的等比中项,当且仅当 sin⁡Asin⁡B≤sin⁡2C2\sin A \sin B \le \sin^2 \frac{C}{2}。
第 6/6 步：正弦定理完成等价关系
上一步下一步
BC=2Rsin⁡A, AC=2Rsin⁡B ⇒ (2Rsin⁡A)(2Rsin⁡B)≤(2Rsin⁡C2)2⇔sin⁡Asin⁡B≤sin⁡2C2BC=2R\sin A,\ AC=2R\sin B\ \Rightarrow\ (2R\sin A)(2R\sin B)\le(2R\sin\tfrac{C}{2})^2 \Leftrightarrow \sin A\sin B\le\sin^2\tfrac{C}{2}
详细分析

由正弦定理,BC=2Rsin⁡ABC=2R\sin A,AC=2Rsin⁡BAC=2R\sin B。把这些以及 MA=2Rsin⁡C2MA=2R\sin\frac{C}{2} 代入第4–5步的 BC⋅AC≤MA2BC\cdot AC\le MA^2 并消去公共因子 (2R)2(2R)^2,恰好得到 sin⁡Asin⁡B≤sin⁡2C2\sin A\sin B\le\sin^2\frac{C}{2}。以上每一步都可逆,所以线段 ABAB 上存在满足 CD2=AD⋅DBCD^2=AD\cdot DB 的点 DD,当且仅当 sin⁡Asin⁡B≤sin⁡2C2\sin A\sin B\le\sin^2\frac{C}{2},这正是所要证明的。