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第2题

在三角形 ABCABC 中,证明:边 ABAB 上存在一点 DD 使得 CDCD 是 ADAD 与 DBDB 的等比中项,当且仅当 sin⁡Asin⁡B≤sin⁡2C2\sin A \sin B \le \sin^2 \frac{C}{2}。
第 2/5 步：把两个关系式相乘
上一步下一步
CD=AD⋅sin⁡Asin⁡C1,CD=BD⋅sin⁡Bsin⁡C2 ⇒ CD2=AD⋅BD⋅sin⁡Asin⁡Bsin⁡C1sin⁡C2CD=AD\cdot\frac{\sin A}{\sin C_1},\quad CD=BD\cdot\frac{\sin B}{\sin C_2}\ \Rightarrow\ CD^2=AD\cdot BD\cdot\frac{\sin A\sin B}{\sin C_1\sin C_2}
详细分析

分别把两式解出 CDCD 并相乘,得到 CD2=AD⋅BD⋅sin⁡Asin⁡Bsin⁡C1sin⁡C2CD^2=AD\cdot BD\cdot\dfrac{\sin A\sin B}{\sin C_1\sin C_2}。因此 CD2=AD⋅BDCD^2=AD\cdot BD 成立当且仅当对由 DD 确定的特定分割 C=C1+C2C=C_1+C_2 有 sin⁡Asin⁡B=sin⁡C1sin⁡C2\sin A\sin B=\sin C_1\sin C_2。