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第2题

在三角形 ABCABC 中,证明:边 ABAB 上存在一点 DD 使得 CDCD 是 ADAD 与 DBDB 的等比中项,当且仅当 sin⁡Asin⁡B≤sin⁡2C2\sin A \sin B \le \sin^2 \frac{C}{2}。
第 3/5 步：重新表述为角的分割问题
上一步下一步
sin⁡Asin⁡B≤sin⁡2C2 ⟺ ∃ C1+C2=C: sin⁡C1sin⁡C2=sin⁡Asin⁡B\sin A\sin B\le\sin^2\frac{C}{2}\ \Longleftrightarrow\ \exists\,C_1+C_2=C:\ \sin C_1\sin C_2=\sin A\sin B
详细分析

于是最初的问题——ABAB 上是否存在满足 CD2=AD⋅DBCD^2=AD\cdot DB 的点 DD——就等价于:能否把 ∠C\angle C 分成 C1+C2C_1+C_2(C1,C2>0C_1,C_2>0),使得 sin⁡C1sin⁡C2=sin⁡Asin⁡B\sin C_1\sin C_2=\sin A\sin B?下面我们确定当分割 C1+C2=CC_1+C_2=C 变化时,sin⁡C1sin⁡C2\sin C_1\sin C_2 究竟能取哪些值。