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第2题

在三角形 ABCABC 中,证明:边 ABAB 上存在一点 DD 使得 CDCD 是 ADAD 与 DBDB 的等比中项,当且仅当 sin⁡Asin⁡B≤sin⁡2C2\sin A \sin B \le \sin^2 \frac{C}{2}。
第 4/5 步：sin⁡C1sin⁡C2\sin C_1\sin C_2 的取值范围恰为 [0,sin⁡2C2]\bigl[0,\sin^2\frac{C}{2}\bigr]
上一步下一步
f(x)=sin⁡ ⁣(C2+x)sin⁡ ⁣(C2−x)=cos⁡(2x)−cos⁡C2,x∈[0,C2]f(x)=\sin\!\left(\tfrac{C}{2}+x\right)\sin\!\left(\tfrac{C}{2}-x\right)=\frac{\cos(2x)-\cos C}{2},\quad x\in\left[0,\tfrac{C}{2}\right]
详细分析

令 C1=C2+xC_1=\tfrac{C}{2}+x,C2=C2−xC_2=\tfrac{C}{2}-x,其中 x∈[0,C2]x\in[0,\tfrac{C}{2}](x=0x=0 表示均分 CC,x=C/2x=C/2 时 C2=0C_2=0)。于是 sin⁡C1sin⁡C2=f(x)=cos⁡(2x)−cos⁡C2\sin C_1\sin C_2=f(x)=\dfrac{\cos(2x)-\cos C}{2},这是余弦曲线的一段,从 f(0)=1−cos⁡C2=sin⁡2C2f(0)=\dfrac{1-\cos C}{2}=\sin^2\frac{C}{2} 连续递减到 f(C/2)=0f(C/2)=0。所以当分割变化时,sin⁡C1sin⁡C2\sin C_1\sin C_2 取遍 [0,sin⁡2C2]\bigl[0,\sin^2\frac{C}{2}\bigr] 中的每一个值,而不会取到范围之外的值。