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第2题

在三角形 ABCABC 中,证明:边 ABAB 上存在一点 DD 使得 CDCD 是 ADAD 与 DBDB 的等比中项,当且仅当 sin⁡Asin⁡B≤sin⁡2C2\sin A \sin B \le \sin^2 \frac{C}{2}。
第 5/5 步：结论:该不等式正是存在性条件
上一步下一步
sin⁡Asin⁡B∈[0,sin⁡2C2] ⟺ ∃x: f(x)=sin⁡Asin⁡B\sin A\sin B\in\Bigl[0,\sin^2\frac{C}{2}\Bigr]\ \Longleftrightarrow\ \exists x:\ f(x)=\sin A\sin B
详细分析

由于 A,B∈(0,π)A,B\in(0,\pi) 自动有 sin⁡Asin⁡B>0\sin A\sin B>0,条件 sin⁡Asin⁡B≤sin⁡2C2\sin A\sin B\le\sin^2\frac{C}{2} 恰好说明 sin⁡Asin⁡B\sin A\sin B 落在第4步所得的可达范围 [0,sin⁡2C2]\bigl[0,\sin^2\tfrac{C}{2}\bigr] 之内。因此存在分割 C=C1+C2C=C_1+C_2 使 sin⁡C1sin⁡C2=sin⁡Asin⁡B\sin C_1\sin C_2=\sin A\sin B,当且仅当 sin⁡Asin⁡B≤sin⁡2C2\sin A\sin B\le\sin^2\frac{C}{2};由第3步,该分割确定了 ABAB 上满足 CD2=AD⋅DBCD^2=AD\cdot DB 的点 DD,从而完成了双向等价的证明。