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第3题

证明对任意整数 n≥0n\ge0,∑k=0n(2n+12k+1)23k\sum_{k=0}^{n}\binom{2n+1}{2k+1}2^{3k} 都不被 55 整除。
第 2/5 步：取出有理部分
上一步下一步
2nS=α,(1+2)2n+1=α+β22^nS=\alpha,\quad (1+\sqrt2)^{2n+1}=\alpha+\beta\sqrt2
详细分析

展开 (1+2)2n+1(1+\sqrt2)^{2n+1}。其中 2\sqrt2 的偶次幂项在 F5\mathbb F_5 中组成 α=∑j=0n(2n+12j)(2)2j=2nS\alpha=\sum_{j=0}^{n}\binom{2n+1}{2j}(\sqrt2)^{2j}=2^nS,奇次幂项组成某个 β∈F5\beta\in\mathbb F_5 的 β2\beta\sqrt2。