MathLabs

第3题

证明对任意整数 n≥0n\ge0,∑k=0n(2n+12k+1)23k\sum_{k=0}^{n}\binom{2n+1}{2k+1}2^{3k} 都不被 55 整除。
第 4/5 步：假设有理部分为零会得到非剩余
上一步下一步
α=0  ⟹  2β2=1  ⟹  β2=3(mod5)\alpha=0\implies 2\beta^2=1\implies\beta^2=3\pmod5
详细分析

若 α=0\alpha=0,范数方程给出 2β2=12\beta^2=1,即模 55 有 β2=2−1=3\beta^2=2^{-1}=3。但模 55 的二次剩余只有 0,1,40,1,4,所以 33 不是平方。这一矛盾证明 α≠0\alpha\ne0。