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第3题

证明对任意整数 n≥0n\ge0,∑k=0n(2n+12k+1)23k\sum_{k=0}^{n}\binom{2n+1}{2k+1}2^{3k} 都不被 55 整除。
第 5/5 步：结论
上一步下一步
2nS=α≠0(mod5)  ⟹  S≢0(mod5)2^nS=\alpha\ne0\pmod5\implies S\not\equiv0\pmod5
详细分析

由于 2n2^n 在模 55 下可逆且 2nS=α≠02^nS=\alpha\ne0,原和 SS 模 55 非零。因此对所有 n≥0n\ge0 都不被 55 整除。