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第4题

将一个 8×88\times8 棋盘分成 pp 个互不重叠的矩形。每个矩形中的白格数等于黑格数。若第 ii 个矩形中的白格数为 aia_i,则 a1<a2<⋯<apa_1<a_2<\cdots<a_p。求可能的最大 pp,并在此 pp 下求出所有可能的数列 a1,…,apa_1,\ldots,a_p。
第 3/5 步：最大白格数不可能达到 1111 或更大
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32−a7≥1+⋯+6=21  ⟹  a7≥11;a7=11⇒2a7=22∈{1×22,2×11}32-a_7\ge1+\cdots+6=21\implies a_7\ge11;\quad a_7=11\Rightarrow 2a_7=22\in\{1\times22,2\times11\}
详细分析

假设 p=7p=7。前六项之和至少为 1+⋯+6=211+\cdots+6=21，所以 a7=32−(a1+⋯+a6)≤11a_7=32-(a_1+\cdots+a_6)\le11。若 a7=11a_7=11，该矩形有 1111 个白格和 1111 个黑格，面积为 2222，整数边长只能是 1×221\times22 或 2×112\times11，无法放入 8×88\times8 棋盘。因此 a7≠11a_7\ne11，故 a7≤10a_7\le10。