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第4题

将一个 8×88\times8 棋盘分成 pp 个互不重叠的矩形。每个矩形中的白格数等于黑格数。若第 ii 个矩形中的白格数为 aia_i,则 a1<a2<⋯<apa_1<a_2<\cdots<a_p。求可能的最大 pp,并在此 pp 下求出所有可能的数列 a1,…,apa_1,\ldots,a_p。
第 4/5 步：列举四个可能数列
上一步下一步
a7=10⇒(a1,…,a7)=(1,2,3,4,5,7,10)a_7=10\Rightarrow(a_1,\ldots,a_7)=(1,2,3,4,5,7,10)
详细分析

枚举总和为 3232 且 a7≤10a_7\le10 的严格递增正整数7元组，恰好得到四组：{1,2,3,4,5,7,10}\{1,2,3,4,5,7,10\}、{1,2,3,4,5,8,9}\{1,2,3,4,5,8,9\}、{1,2,3,4,6,7,9}\{1,2,3,4,6,7,9\} 和 {1,2,3,5,6,7,8}\{1,2,3,5,6,7,8\}。例如 a7=10a_7=10 时前六项之和为 2222；它们必须是 1,…,71,\ldots,7 中的六个，故遗漏的是 66，得到 (1,2,3,4,5,7,10)(1,2,3,4,5,7,10)。其余情形同样由最小数列分配剩余量得到。