第5题

求

S=\dfrac{a}{a+b+d}+\dfrac{b}{a+b+c}+\dfrac{c}{b+c+d}+\dfrac{d}{a+c+d}

的所有可能值，其中

a,b,c,d

为任意正实数。

第 4/4 步：逼近下端点并利用连续性

a=1,\quad b=t,\quad c=t^2,\quad d=t^3\to0^+

详细分析

取 $a=1$ 、 $b=t$ 、 $c=t^2$ 、 $d=t^3$ ，则第一项趋于 $1$ ，其余三项都趋于 $0$ ，所以 $S$ 从上方趋于 $1$ 。正四元组的定义域连通且 $S$ 连续；结合严格上下界及逼近两个端点，值域恰为开区间 $(1,2)$ 。