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第6题

设 PP 是整系数非恒多项式。若 n(P)n(P) 是满足 P(k)2=1P(k)^2=1 的不同整数 kk 的个数，证明 n(P)−deg⁡(P)≤2n(P)-\deg(P)\le2。
第 1/4 步：比较两个水平方程的根
上一步下一步
P(r)=1,P(s)=−1⟹s−r∣2P(r)=1,\quad P(s)=-1\quad\Longrightarrow\quad s-r\mid2
详细分析

若整数 r,s 满足 P(r)=1 且 P(s)=-1，则由整系数多项式性质，s-r 整除 P(s)-P(r)=-2。因此两根的差的绝对值为1或2。