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第2题

设 a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldots 是正整数组成的无穷递增数列。证明:对每个 p≥1p \ge 1,都存在无穷多个 ama_m 可以写成 am=xap+yaqa_m = xa_p + ya_q 的形式,其中 x,yx, y 为正整数,且 q>pq > p。
第 1/4 步：固定 pp,考察模 apa_p 的余数
上一步下一步
通俗地说

除以 apa_p 只可能得到 apa_p 种余数（即 0,1,…,ap−10, 1, \ldots, a_p-1）,但位置 pp 之后数列中却有无穷多项。正如有无穷多只鸽子却只有有限个鸽笼的鸽笼原理,必有某个余数被无穷多项取到——而共享该余数的任意两项之差恰是 apa_p 的倍数,这正是目标公式 xap+yaqxa_p+ya_q 所需要的结构。

a1<a2<a3<⋯ ,p≥1 fixeda_1<a_2<a_3<\cdots,\quad p\ge 1 \text{ fixed}
详细分析

固定 p≥1p \ge 1。对每个下标 ii,设 rir_i 为 aia_i 除以 apa_p 的余数,于是 ri∈{0,1,…,ap−1}r_i \in \{0, 1, \ldots, a_p - 1\},只有 apa_p 种可能取值。由于数列 a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldots 是无穷的,鸽笼原理保证至少有一个余数 rr 在无穷多个下标 ii 处出现。