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第1题

设实数 x1≥x2≥⋯≥xnx_1 \ge x_2 \ge \cdots \ge x_n 与 y1≥y2≥⋯≥yny_1 \ge y_2 \ge \cdots \ge y_n。证明:若 z1,z2,…,znz_1, z_2, \ldots, z_n 是 y1,y2,…,yny_1, y_2, \ldots, y_n 的任意一个排列,则 ∑i=1n(xi−yi)2≤∑i=1n(xi−zi)2\sum_{i=1}^{n} (x_i - y_i)^2 \le \sum_{i=1}^{n} (x_i - z_i)^2。
第 1/5 步：这个不等式说明了什么
上一步下一步
通俗地说

把 xix_i 想象成数轴上 nn 个固定的停车位,把 yiy_i 想象成需要按某种顺序停进去的 nn 辆车。把最大的车配最大的车位、第二大的车配第二大的车位,依此类推(即“排好序”的配对 yiy_i),能让每辆车都尽量靠近自己的车位。把车按其他任何顺序 ziz_i 重新排列,只会让总的距离平方和变大,不会变小。本题要求严格证明这一直觉。

∑i=1n(xi−yi)2≤∑i=1n(xi−zi)2\sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2 \le \sum_{i=1}^n (x_i-z_i)^2
详细分析

不等式两边都是固定数列 xix_i 与取自同一多重集合 {y1,…,yn}\{y_1, \ldots, y_n\} 的数列之差的平方和：左边的数列已经与 xx 同序排列，右边则是任意排列 zz。结论是：在全部 nn 个项的 n!n! 种配对方式中，同序配对使差的平方和最小。