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第1题

设实数 x1≥x2≥⋯≥xnx_1 \ge x_2 \ge \cdots \ge x_n 与 y1≥y2≥⋯≥yny_1 \ge y_2 \ge \cdots \ge y_n。证明:若 z1,z2,…,znz_1, z_2, \ldots, z_n 是 y1,y2,…,yny_1, y_2, \ldots, y_n 的任意一个排列,则 ∑i=1n(xi−yi)2≤∑i=1n(xi−zi)2\sum_{i=1}^{n} (x_i - y_i)^2 \le \sum_{i=1}^{n} (x_i - z_i)^2。
第 2/5 步：展开平方式分离交叉项
上一步下一步
∑i=1n(xi−yi)2≤∑i=1n(xi−zi)2  ⟺  ∑i=1nxiyi≥∑i=1nxizi\sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2 \le \sum_{i=1}^n (x_i-z_i)^2 \iff \sum_{i=1}^n x_i y_i \ge \sum_{i=1}^n x_i z_i
详细分析

展开两边得到 ∑xi2−2∑xiyi+∑yi2\sum x_i^2 - 2\sum x_i y_i + \sum y_i^2 和 ∑xi2−2∑xizi+∑zi2\sum x_i^2 - 2\sum x_i z_i + \sum z_i^2。由于 zz 只是 yy 的重新排列,故 ∑yi2=∑zi2\sum y_i^2 = \sum z_i^2,而 ∑xi2\sum x_i^2 两边相同;消去相同项后,原不等式与 ∑xiyi≥∑xizi\sum x_i y_i \ge \sum x_i z_i 完全等价:xx 与 yy 的同序配对,在 xx 与 yy 的任意排列的所有配对中给出最大的内积。