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第1题

设实数 x1≥x2≥⋯≥xnx_1 \ge x_2 \ge \cdots \ge x_n 与 y1≥y2≥⋯≥yny_1 \ge y_2 \ge \cdots \ge y_n。证明:若 z1,z2,…,znz_1, z_2, \ldots, z_n 是 y1,y2,…,yny_1, y_2, \ldots, y_n 的任意一个排列,则 ∑i=1n(xi−yi)2≤∑i=1n(xi−zi)2\sum_{i=1}^{n} (x_i - y_i)^2 \le \sum_{i=1}^{n} (x_i - z_i)^2。
第 5/5 步：得出原不等式
上一步下一步
∑i=1nxiyi≥∑i=1nxizi  ⟹  ∑i=1n(xi−yi)2≤∑i=1n(xi−zi)2\sum_{i=1}^n x_iy_i \ge \sum_{i=1}^n x_iz_i \implies \sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2 \le \sum_{i=1}^n (x_i-z_i)^2
详细分析

第3步表明,对我们出发时任取的排列 zz 有 ∑xiyi≥∑xizi\sum x_iy_i \ge \sum x_iz_i,由第1步这恰好等价于 ∑i=1n(xi−yi)2≤∑i=1n(xi−zi)2\sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2 \le \sum_{i=1}^n (x_i-z_i)^2。由于 zz 是 yy 的任意排列,该不等式对每个排列都成立,证明完成。等号处处成立当且仅当每次修正逆序对的交换都没有改变任何东西,即 zz 对相等的值的配对方式已经与 yy 相同。