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第2题

设 a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldots 是正整数组成的无穷递增数列。证明:对每个 p≥1p \ge 1,都存在无穷多个 ama_m 可以写成 am=xap+yaqa_m = xa_p + ya_q 的形式,其中 x,yx, y 为正整数,且 q>pq > p。
第 3/4 步：把整除关系转化为目标线性形式
上一步下一步
aik−aq=k′ap  ⟹  aik=k′ap+1⋅aq,k′∈Z>0a_{i_k}-a_q=k'a_p \implies a_{i_k}=k'a_p+1\cdot a_q,\quad k'\in\mathbb{Z}_{>0}
详细分析

任取 k≥2k \ge 2,由第2步写出 aik−aq=k′apa_{i_k} - a_q = k'a_p,其中 k′k' 为整数。由于子列严格递增,当 k≥2k \ge 2 时 aik>aqa_{i_k} > a_q,故 k′ap>0k'a_p > 0,又 ap>0a_p > 0,于是 k′>0k' > 0,即 k′k' 是正整数。整理得 aik=k′⋅ap+1⋅aqa_{i_k} = k' \cdot a_p + 1 \cdot a_q。这恰好就是目标形式 xap+yaqxa_p + ya_q（取 x=k′x = k',y=1y = 1,均为正整数),且满足所需的 q>pq > p。