第3步对每个 k≥2k \ge 2k≥2 都成立,而子列 (aik)k≥1(a_{i_k})_{k \ge 1}(aik)k≥1 是无穷的,因此存在无穷多个下标 m=ikm = i_km=ik（k≥2k \ge 2k≥2）使得 am=xap+yaqa_m = xa_p + ya_qam=xap+yaq,其中 x,yx, yx,y 为正整数且 q=i1>pq = i_1 > pq=i1>p。由于 p≥1p \ge 1p≥1 是任取的,这对每个 ppp 都成立,这正是所要证明的结论。■\blacksquare■