第3题

在任意三角形

ABC

的各边外侧作三角形

ABR

、

BCP

、

CAQ

,使得

\angle CBP = \angle CAQ = 45^\circ

\angle BCP = \angle ACQ = 30^\circ

\angle ABR = \angle BAR = 15^\circ

。证明:

\angle QRP = 90^\circ

且

QR = RP

。

第 1/6 步：建立三个小三角形并列出目标结论

上一步下一步

通俗地说

$P$ 、 $Q$ 、 $R$ 分别是贴在 $ABC$ 某条边外侧的三角形的顶点。由于涉及的每个底角（ $45^\circ, 30^\circ, 15^\circ$ ）都是“好看”的角,所以长度 $PB, PC, QA, QC, RA, RB$ 都可以用正弦定理精确写出,而 $RP$ 、 $RQ$ 在 $R$ 处所成的角,只需在 $ABC$ 每个顶点周围把已知的 $45^\circ/30^\circ/15^\circ$ 逐段相加即可求得。整个问题于是化为余弦定理的计算。

a=BC,\ b=CA,\ c=AB;\quad \angle PBC=45^\circ,\angle PCB=30^\circ;\ \angle QAC=45^\circ,\angle QCA=30^\circ;\ \angle RAB=\angle RBA=15^\circ

详细分析

设 $a=BC$ 、 $b=CA$ 、 $c=AB$ ,并用 $A,B,C$ 同时表示 $\triangle ABC$ 在这些顶点处的角。三角形 $BCP$ 有 $\angle PBC=45^\circ$ 、 $\angle PCB=30^\circ$ ,故 $\angle BPC=105^\circ$ ;三角形 $CAQ$ 有 $\angle QAC=45^\circ$ 、 $\angle QCA=30^\circ$ ,故 $\angle AQC=105^\circ$ ;三角形 $ABR$ 有 $\angle RAB=\angle RBA=15^\circ$ ,故 $\angle ARB=150^\circ$ 。目标是证明 $\angle PRQ = 90^\circ$ 且 $RP=RQ$ 。