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第3题

在任意三角形 ABCABC 的各边外侧作三角形 ABRABR、BCPBCP、CAQCAQ,使得 ∠CBP=∠CAQ=45∘\angle CBP = \angle CAQ = 45^\circ,∠BCP=∠ACQ=30∘\angle BCP = \angle ACQ = 30^\circ,∠ABR=∠BAR=15∘\angle ABR = \angle BAR = 15^\circ。证明:∠QRP=90∘\angle QRP = 90^\circ 且 QR=RPQR = RP。
第 2/6 步：用正弦定理求出六条辅助边
上一步下一步
PB=asin⁡30∘sin⁡105∘, PC=asin⁡45∘sin⁡105∘, QA=bsin⁡30∘sin⁡105∘, QC=bsin⁡45∘sin⁡105∘, RA=RB=csin⁡15∘sin⁡150∘PB=\frac{a\sin30^\circ}{\sin105^\circ},\ PC=\frac{a\sin45^\circ}{\sin105^\circ},\ QA=\frac{b\sin30^\circ}{\sin105^\circ},\ QC=\frac{b\sin45^\circ}{\sin105^\circ},\ RA=RB=\frac{c\sin15^\circ}{\sin150^\circ}
详细分析

在 BCPBCP、CAQCAQ、ABRABR 中应用正弦定理。它们的角分别为 45∘,30∘,105∘45^\circ,30^\circ,105^\circ；45∘,30∘,105∘45^\circ,30^\circ,105^\circ；以及 15∘,15∘,150∘15^\circ,15^\circ,150^\circ。令 a=BCa=BC、b=CAb=CA、c=ABc=AB,便得到所列公式。