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第3题

在任意三角形 ABCABC 的各边外侧作三角形 ABRABR、BCPBCP、CAQCAQ,使得 ∠CBP=∠CAQ=45∘\angle CBP = \angle CAQ = 45^\circ,∠BCP=∠ACQ=30∘\angle BCP = \angle ACQ = 30^\circ,∠ABR=∠BAR=15∘\angle ABR = \angle BAR = 15^\circ。证明:∠QRP=90∘\angle QRP = 90^\circ 且 QR=RPQR = RP。
第 3/6 步：确定应用余弦定理所需的三个角
上一步下一步
∠PBR=B+60∘,∠QAR=A+60∘,∠PCQ=C+60∘\angle PBR=B+60^\circ,\quad \angle QAR=A+60^\circ,\quad \angle PCQ=C+60^\circ
详细分析

由于三个辅助三角形分别在 BCBC、CACA、ABAB 外侧,BPBP 与 BRBR 的夹角为 B+45∘+15∘=B+60∘B+45^\circ+15^\circ=B+60^\circ。循环地,另外两个对应角为 A+60∘A+60^\circ 与 C+60∘C+60^\circ。