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第3题

在任意三角形 ABCABC 的各边外侧作三角形 ABRABR、BCPBCP、CAQCAQ,使得 ∠CBP=∠CAQ=45∘\angle CBP = \angle CAQ = 45^\circ,∠BCP=∠ACQ=30∘\angle BCP = \angle ACQ = 30^\circ,∠ABR=∠BAR=15∘\angle ABR = \angle BAR = 15^\circ。证明:∠QRP=90∘\angle QRP = 90^\circ 且 QR=RPQR = RP。
第 4/6 步：在 PBRPBR、QARQAR、PCQPCQ 中应用余弦定理
上一步下一步
PR2=PB2+RB2−2PB RBcos⁡(B+60∘),QR2=QA2+RA2−2QA RAcos⁡(A+60∘),PQ2=PC2+QC2−2PC QCcos⁡(C+60∘)PR^2=PB^2+RB^2-2PB\,RB\cos(B+60^\circ),\quad QR^2=QA^2+RA^2-2QA\,RA\cos(A+60^\circ),\quad PQ^2=PC^2+QC^2-2PC\,QC\cos(C+60^\circ)
详细分析

在三个三角形中应用余弦定理,用第3步的夹角及第2步的相邻边,恰好得到所列三式。