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第3题

在任意三角形 ABCABC 的各边外侧作三角形 ABRABR、BCPBCP、CAQCAQ,使得 ∠CBP=∠CAQ=45∘\angle CBP = \angle CAQ = 45^\circ,∠BCP=∠ACQ=30∘\angle BCP = \angle ACQ = 30^\circ,∠ABR=∠BAR=15∘\angle ABR = \angle BAR = 15^\circ。证明:∠QRP=90∘\angle QRP = 90^\circ 且 QR=RPQR = RP。
第 5/6 步：利用三角形恒等式化简
上一步下一步
PR2−QR2=0,PR2+QR2−PQ2=0PR^2-QR^2=0,\qquad PR^2+QR^2-PQ^2=0
详细分析

将第2步的正弦定理结果代入第4步,展开 cos⁡(X+60∘)\cos(X+60^\circ),并使用 ABCABC 中的正弦、余弦定理:asin⁡B=bsin⁡Aa\sin B=b\sin A、accos⁡B=(a2+c2−b2)/2ac\cos B=(a^2+c^2-b^2)/2、bccos⁡A=(b2+c2−a2)/2bc\cos A=(b^2+c^2-a^2)/2。各项相消,得到 PR2=QR2PR^2=QR^2 及 PR2+QR2=PQ2PR^2+QR^2=PQ^2。