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第3题

在任意三角形 ABCABC 的各边外侧作三角形 ABRABR、BCPBCP、CAQCAQ,使得 ∠CBP=∠CAQ=45∘\angle CBP = \angle CAQ = 45^\circ,∠BCP=∠ACQ=30∘\angle BCP = \angle ACQ = 30^\circ,∠ABR=∠BAR=15∘\angle ABR = \angle BAR = 15^\circ。证明:∠QRP=90∘\angle QRP = 90^\circ 且 QR=RPQR = RP。
第 6/6 步：结论:PQRPQR 是等腰直角三角形
上一步下一步
PR=QR,PR2+QR2=PQ2  ⟹  ∠PRQ=90∘PR=QR,\quad PR^2+QR^2=PQ^2\implies \angle PRQ=90^\circ
详细分析

第5步第一个等式因长度非负而给出 PR=QRPR=QR。第二个等式是三角形 PQRPQR 中以 PQPQ 为斜边的勾股关系;等价地,由余弦定理 cos⁡∠PRQ=(PR2+QR2−PQ2)/(2PR QR)=0\cos\angle PRQ=(PR^2+QR^2-PQ^2)/(2PR\,QR)=0。故 ∠PRQ=90∘\angle PRQ=90^\circ,结论成立。