101010 的任意幂都满足 ≡1(mod9)\equiv 1 \pmod 9≡1(mod9)，所以一个数与它的数字和总是模 999 同余：写 N=∑kak10kN = \sum_k a_k 10^kN=∑kak10k，得 N≡∑kak=S(N)(mod9)N \equiv \sum_k a_k = S(N) \pmod 9N≡∑kak=S(N)(mod9)。应用三次，得 44444444≡A≡B≡S(B)(mod9)4444^{4444} \equiv A \equiv B \equiv S(B) \pmod 944444444≡A≡B≡S(B)(mod9)。