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第4题

将 444444444444^{4444} 用十进制表示,其各位数字之和为 AA。设 BB 为 AA 的各位数字之和。求 BB 的各位数字之和。(AA、BB 均用十进制表示。)
第 6/6 步：结合上界与余数确定 S(B)S(B)
上一步下一步
S(B)≤12, S(B)≡7(mod9), S(B)≥1  ⟹  S(B)=7S(B)\le 12,\ S(B)\equiv 7\pmod 9,\ S(B)\ge 1 \implies S(B)=7
详细分析

由第4步,S(B)≡44444444≡7(mod9)S(B) \equiv 4444^{4444} \equiv 7 \pmod 9(第5步)。由第2–3步,1≤S(B)≤121 \le S(B) \le 12(它是某正整数的数字和,故至少为 11)。在 {1,…,12}\{1, \ldots, 12\} 中模 99 同余于 77 的整数只有 77 本身(下一个候选值 1616 已超出上界)。因此 S(B)=7S(B) = 7。■\blacksquare