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国际数学奥林匹克
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1975年
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第6题
第6题
求所有二元多项式
P
P
P
:对某个正整数
n
n
n
,任意实数
t
,
x
,
y
t,x,y
t
,
x
,
y
有
P
(
t
x
,
t
y
)
=
t
n
P
(
x
,
y
)
P(tx,ty)=t^nP(x,y)
P
(
t
x
,
t
y
)
=
t
n
P
(
x
,
y
)
;任意实数
a
,
b
,
c
a,b,c
a
,
b
,
c
有
P
(
b
+
c
,
a
)
+
P
(
c
+
a
,
b
)
+
P
(
a
+
b
,
c
)
=
0
P(b+c,a)+P(c+a,b)+P(a+b,c)=0
P
(
b
+
c
,
a
)
+
P
(
c
+
a
,
b
)
+
P
(
a
+
b
,
c
)
=
0
;且
P
(
1
,
0
)
=
1
P(1,0)=1
P
(
1
,
0
)
=
1
。
第 1/6 步：利用齐次性
上一步
下一步
通俗地说
缩放条件说明每个单项式的总次数都是
n
n
n
。
P
(
x
,
y
)
=
∑
k
=
0
n
c
k
x
k
y
n
−
k
P(x,y)=\sum_{k=0}^{n}c_kx^ky^{n-k}
P
(
x
,
y
)
=
k
=
0
∑
n
c
k
x
k
y
n
−
k
详细分析
第一个条件正是
n
n
n
次齐次性。
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