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第6题

求所有二元多项式 PP:对某个正整数 nn,任意实数 t,x,yt,x,y 有 P(tx,ty)=tnP(x,y)P(tx,ty)=t^nP(x,y);任意实数 a,b,ca,b,c 有 P(b+c,a)+P(c+a,b)+P(a+b,c)=0P(b+c,a)+P(c+a,b)+P(a+b,c)=0;且 P(1,0)=1P(1,0)=1。
第 2/6 步：找出一次因子
上一步下一步
3P(2u,u)=0  ⟹  P(2u,u)=0  ⟹  (x−2y)∣P(x,y)3P(2u,u)=0\implies P(2u,u)=0\implies (x-2y)\mid P(x,y)
详细分析

在循环恒等式中令 a=b=c=ua=b=c=u，得对所有 uu 有 3P(2u,u)=03P(2u,u)=0。所以 PP 在 x=2yx=2y 上为零，PP 是因子 x−2yx-2y 的倍式。