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第6题

求所有二元多项式 PP:对某个正整数 nn,任意实数 t,x,yt,x,y 有 P(tx,ty)=tnP(x,y)P(tx,ty)=t^nP(x,y);任意实数 a,b,ca,b,c 有 P(b+c,a)+P(c+a,b)+P(a+b,c)=0P(b+c,a)+P(c+a,b)+P(a+b,c)=0;且 P(1,0)=1P(1,0)=1。
第 3/6 步：导出 QQ 的不变性
上一步下一步
P(x,y)=(x−2y)Q(x,y),deg⁡Q=n−1P(x,y)=(x-2y)Q(x,y),\quad \deg Q=n-1
详细分析

写成 P=(x−2y)QP=(x-2y)Q。在循环恒等式中代入 (a,b,c)=(a,b,b)(a,b,c)=(a,b,b) 得 2(a−b)[Q(a+b,b)−Q(2b,a)]=02(a-b)[Q(a+b,b)-Q(2b,a)]=0,故对所有 x,yx,y 有 Q(x,y)=Q(2y,x−y)Q(x,y)=Q(2y,x-y)。