第6题

求所有二元多项式

P

:对某个正整数

n

,任意实数

t,x,y

有

P(tx,ty)=t^nP(x,y)

;任意实数

a,b,c

有

P(b+c,a)+P(c+a,b)+P(a+b,c)=0

;且

P(1,0)=1

。

第 4/6 步：证明

Q

只依赖于

x+y

上一步下一步

Q(x+d,y-d)=Q(x,y)\quad\text{for all }d

详细分析

变换 $(x,y)\mapsto(2y,x-y)$ 保持 $x+y$ 不变,特征值为 $1,-2$ 。反复第3步得到同一直线上的无穷多个点 $(x+d,y-d)$ ,所以关于 $d$ 的多项式 $Q(x+d,y-d)-Q(x,y)$ 有无穷多个根并恒为零。故对任意实数 $d$ 有 $Q(x+d,y-d)=Q(x,y)$ 。