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第1题

在正方形 ABCDABCD 内作等边三角形 ABKABK、BCLBCL、CDMCDM 和 DANDAN。证明 KL,LM,MN,NKKL,LM,MN,NK 以及 AK,BK,BL,CL,CM,DM,DN,ANAK,BK,BL,CL,CM,DM,DN,AN 的中点正好是一个正十二边形的十二个顶点。
第 2/5 步:计算四个顶点
通俗地说

一旦知道一个等边三角形的顶点,其余顶点便可由对称性得到。

k=3−12(−1−i),l=ik,m=i2k,n=i3kk=\frac{\sqrt{3}-1}{2}(-1-i),\quad l=ik,\quad m=i^2k,\quad n=i^3k
详细分析

将一条边朝向中心旋转 60∘60^\circ,得到 k=3−12(−1−i)k=\frac{\sqrt{3}-1}{2}(-1-i)。四分之一转对称性给出 l=ikl=ik、m=i2km=i^2k 和 n=i3kn=i^3k。