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第4题

设 f(θ)=1−acos⁡θ−bsin⁡θ−Acos⁡2θ−Bsin⁡2θf(\theta)=1-a\cos\theta-b\sin\theta-A\cos2\theta-B\sin2\theta 为实数，且 a,b,A,Ba,b,A,B。证明若对所有实数 f(θ)≥0f(\theta)\ge0 都有 θ\theta，则 a2+b2≤2a^2+b^2\le2 且 A2+B2≤1A^2+B^2\le1。
第 1/3 步：分离二次谐波
上一步下一步
f(θ)+f(θ+π)=2−2Acos⁡2θ−2Bsin⁡2θ≥0f(\theta)+f(\theta+\pi)=2-2A\cos2\theta-2B\sin2\theta\ge0
详细分析

将 θ 平移 π\pi 后，含 a,ba,b 的项抵消。因此对所有 θ\theta 都有 Acos⁡2θ+Bsin⁡2θ≤1A\cos2\theta+B\sin2\theta\le1。其最大振幅为 A2+B2\sqrt{A^2+B^2}，故 A2+B2≤1A^2+B^2\le1。