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第4题

设 f(θ)=1−acos⁡θ−bsin⁡θ−Acos⁡2θ−Bsin⁡2θf(\theta)=1-a\cos\theta-b\sin\theta-A\cos2\theta-B\sin2\theta 为实数，且 a,b,A,Ba,b,A,B。证明若对所有实数 f(θ)≥0f(\theta)\ge0 都有 θ\theta，则 a2+b2≤2a^2+b^2\le2 且 A2+B2≤1A^2+B^2\le1。
第 2/3 步：分离一次谐波
上一步下一步
f(θ)+f(θ+π2)=2−(a+b)cos⁡θ+(a−b)sin⁡θ≥0f(\theta)+f(\theta+\frac{\pi}{2})=2-(a+b)\cos\theta+(a-b)\sin\theta\ge0
详细分析

平移 π2\frac{\pi}{2} 后双角项抵消。剩余正弦函数的振幅为 (a+b)2+(a−b)2=2a2+2b2\sqrt{(a+b)^2+(a-b)^2}=\sqrt{2a^2+2b^2}。由非负性得 2a2+2b2≤2\sqrt{2a^2+2b^2}\le2，所以 a2+b2≤2a^2+b^2\le2。