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第6题

设 f:Z>0→Z>0f:\mathbb{Z}_{>0}\to\mathbb{Z}_{>0}。证明若对每个正整数 f(n+1)>f(f(n))f(n+1)>f(f(n)) 有 nn,则对所有正整数 f(n)=nf(n)=n 都有 nn。
第 1/5 步:确定首个尾序列的最小值
通俗地说

不等式排除了所有后续项成为最小值的可能。

f(m)>f(f(m−1))(m>1)f(m)>f(f(m-1))\quad(m>1)
详细分析

对 m>1m>1 将条件用于 m−1m-1。于是 f(m)f(m) 严格大于数列中的另一个值,不可能是全体最小值。正整数集良序,因此最小值存在且唯一,为 f(1)f(1)。